基尔霍夫电路定律（Kirchhoff Circuit Laws）简称为基尔霍夫定律，指的是两条电路学定律，基尔霍夫电流定律与基尔霍夫电压定律。它们涉及了电荷的守恒及电势的保守性。1845年，古斯塔夫·基尔霍夫首先提出基尔霍夫电路定律。现在，这定律被广泛地应用于电气工程学。

　　从麦克斯韦方程组可以推导出基尔霍夫电路定律。但是，基尔霍夫并不是依循这条思路发展，而是从格奥尔格·欧姆的工作成果加以推广得之。

基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律又称为基尔霍夫第一定律，表明：

　　所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这节点的电流的总和。

　或者，更详细描述，

　　假设进入某节点的电流为正值，离开这节点的电流为负值，则所有涉及这节点的电流的代数和等于零。

　　以方程表达，对于电路的任意节点，

　　{\displaystyle\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0}\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0；

　　其中，{\displaystyle i_{k}}i_{k}是第{\displaystyle k}k个进入或离开这节点的电流，是流过与这节点相连接的第{\displaystyle k}k个支路的电流，可以是实数或复数。

　　由于累积的电荷（单位为库仑）是电流（单位为安培）与时间（单位为秒）的乘积，从电荷守恒定律可以推导出这条定律。其实质是稳恒电流的连续性方程，即根据电荷守恒定律，流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和。[2]

导引

　　思考电路的某节点，跟这节点相连接有{\displaystyle n}n个支路。假设进入这节点的电流为正值，离开这节点的电流为负值，则经过这节点的总电流{\displaystyle i}i等于流过支路{\displaystyle k}k的电流{\displaystyle i_{k}}i_{k}的代数和：

　　{\displaystyle i=\sum _{k=1}^{n}i_{k}}i=\sum _{k=1}^{n}i_{k}。

　　将这方程积分于时间，可以得到累积于这节点的电荷的方程：

　　{\displaystyle q=\sum _{k=1}^{n}q_{k}}q=\sum _{k=1}^{n}q_{k}；

　　其中，{\displaystyle q=\int _{0}^{t}i(t')\mathrm{d}t'}q=\int _{0}^{t}i(t')\mathrm{d}t'是累积于这节点的总电荷，{\displaystyle q_{k}=\int _{0}^{t}i_{k}(t')\mathrm{d}t'}q_{k}=\int _{0}^{t}i_{k}(t')\mathrm{d}t'是流过支路{\displaystyle k}k的电荷，{\displaystyle t}t是检验时间，{\displaystyle t'}t'是积分时间变数。

　　假设{\displaystyle q>0}q>0，则正电荷会累积于节点；否则，负电荷会累积于节点。根据电荷守恒定律，{\displaystyle q}q是个常数，不能够随着时间演进而改变。由于这节点是个导体，不能储存任何电荷。所以，{\displaystyle q=0}q=0、{\displaystyle i=0}i=0，基尔霍夫电流定律成立：

　　{\displaystyle\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0}\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0。

含时电荷密度

　　从上述推导可以看到，只有当电荷量为常数时，基尔霍夫电流定律才会成立。通常，这不是个问题，因为静电力相斥作用，会阻止任何正电荷或负电荷随时间演进而累积于节点，大多时候，节点的净电荷是零。

　　不过，电容器的两块导板可能会允许正电荷或负电荷的累积。这是因为电容器的两块导板之间的空隙，会阻止分别累积于两块导板的异性电荷相遇，从而互相抵消。对于这状况，流向其中任何一块导板的电流总和等于电荷累积的速率，而不是零。但是，若将位移电流{\displaystyle\mathbf{J}_{D}}\mathbf{J}_{D}纳入考虑，则基尔霍夫电流定律依然有效。详尽细节，请参阅条目位移电流。只有当应用基尔霍夫电流定律于电容器内部的导板时，才需要这样思考。若应用于电路分析（circuit analysis）时，电容器可以视为一个整体器件，净电荷是零，所以原先的电流定律仍适用。

　　由更技术性的层面来说，取散度于麦克斯韦修正的安培定律，然后与高斯定律相结合，即可得到基尔霍夫电流定律：

　　{\displaystyle\nabla\cdot\mathbf{J}=-\epsilon _{0}\nabla\cdot{\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}}=-{\frac{\partial\rho}{\partial t}}}\nabla\cdot\mathbf{J}=-\epsilon _{0}\nabla\cdot{\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}}=-{\frac{\partial\rho}{\partial t}}；

　　其中，{\displaystyle\mathbf{J}}\mathbf{J}是电流密度，{\displaystyle\epsilon _{0}}\epsilon _{0}是电常数，{\displaystyle\mathbf{E}}\mathbf{E}是电场，{\displaystyle\rho}\rho是电荷密度。

　　这是电荷守恒的微分方程。以积分的形式表述，从封闭表面流出的电流等于在这封闭表面内部的电荷{\displaystyle Q}Q的流失率：

　　{\displaystyle\oint _{\mathbb{S}}\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}=-{\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}}}\oint _{\mathbb{S}}\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}=-{\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}}。

　　基尔霍夫电流定律等价于电流的散度是零的论述。对于不含时电荷密度{\displaystyle\rho}\rho，这定律成立。对于含时电荷密度，则必需将位移电流纳入考虑。

应用

　　以矩阵表达的基尔霍夫电流定律是众多电路模拟软件（electronic circuit simulation）的理论基础，例如，SPICE或NI Multisim。

基尔霍夫电压定律

　基尔霍夫电压定律又称为基尔霍夫第二定律，表明：

　　沿着闭合回路所有器件两端的电势差（电压）的代数和等于零。

　　或者，换句话说，

　　沿着闭合回路的所有电动势的代数和等于所有电压降的代数和。

　　以方程表达，对于电路的任意闭合回路，

　　{\displaystyle\sum _{k=1}^{m}v_{k}=0}\sum _{k=1}^{m}v_{k}=0；

　　其中，{\displaystyle m}m是这闭合回路的器件数目，{\displaystyle v_{k}}v_{k}是器件两端的电压，可以是实数或复数。

　　基尔霍夫电压定律不仅应用于闭合回路，也可以把它推广应用于回路的部分电路。[需要解释]

电场与电势

　　在静电学里，电势定义为电场的负线积分：

　　{\displaystyle\phi(\mathbf{r}){\stackrel{def}{=}}-\int _{\mathbb{L}}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{\ell}}\,\!}\phi(\mathbf{r}){\stackrel{def}{=}}-\int _{\mathbb{L}}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{\ell}}\,\!；

　　其中，{\displaystyle\phi(\mathbf{r})}\phi(\mathbf{r})是电势，{\displaystyle\mathbf{E}}\mathbf{E}是电场，{\displaystyle\mathbb{L}}\mathbb{L}是从参考位置到位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}的路径，{\displaystyle\mathrm{d}{\boldsymbol{\ell}}}\mathrm{d}{\boldsymbol{\ell}}是这路径的微小线元素。

　　那么，基尔霍夫电压定律可以等价表达为：

　　{\displaystyle\oint _{\mathbb{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0}\oint _{\mathbb{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0；

　　其中，{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}是积分的闭合回路。

　　这方程乃是法拉第电磁感应定律对于一个特殊状况的简化版本。假设通过闭合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的磁通量为常数，则这方程成立。

　　这方程指明，电场沿着闭合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的线积分为零。将这线积分切割为几段支路，就可以分别计算每一段支路的电压。

理论限制

　　由于含时电流会产生含时磁场，通过闭合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的磁通量是时间的函数，根据法拉第电磁感应定律，会有电动势{\displaystyle{\mathcal{E}}}{\mathcal{E}}出现于闭合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}。所以，电场沿着闭合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的线积分不等于零。这是因为电流会将能量传递给磁场；反之亦然，磁场亦会将能量传递给电流。

　　对于含有电感器的电路，必需将基尔霍夫电压定律加以修正。由于含时电流的作用，电路的每一个电感器都会产生对应的电动势{\displaystyle{\mathcal{E}}_{k}}{\mathcal{E}}_{k}。必需将这电动势纳入基尔霍夫电压定律，才能求得正确答案。

频域

　　思考单频率交流电路的任意节点，应用基尔霍夫电流定律

　　{\displaystyle\sum _{k=1}^{n}i_{k}=\sum _{k=1}^{n}I_{k}\cos(\omega t+\theta _{k})=\mathrm{Re}{\Big\{}\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j(\omega t+\theta _{k})}{\Big\}}=\mathrm{Re}{\Big\{}\left(\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j\theta _{k}}\right)e^{j\omega t}{\Big\}}=0}\sum _{k=1}^{n}i_{k}=\sum _{k=1}^{n}I_{k}\cos(\omega t+\theta _{k})=\mathrm{Re}{\Big\{}\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j(\omega t+\theta _{k})}{\Big\}}=\mathrm{Re}{\Big\{}\left(\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j\theta _{k}}\right)e^{j\omega t}{\Big\}}=0；

　　其中，{\displaystyle i_{k}}i_{k}是第{\displaystyle k}k个进入或离开这节点的电流，{\displaystyle I_{k}}I_{k}是其振幅，{\displaystyle\theta _{k}}\theta _{k}是其相位，{\displaystyle\omega}\omega是角频率，{\displaystyle t}t是时间。

　　对于任意时间，这方程成立。所以，设定相量{\displaystyle\mathbb{I}_{k}=I_{k}e^{j\theta _{k}}}\mathbb{I}_{k}=I_{k}e^{j\theta _{k}}，则可以得到频域的基尔霍夫电流定律，以方程表达，

　　{\displaystyle\sum _{k=1}^{n}\mathbb{I}_{k}=0}\sum _{k=1}^{n}\mathbb{I}_{k}=0。

　　频域的基尔霍夫电流定律表明：

　　所有进入或离开节点的电流相量的代数和等于零。

　　这是节点分析的基础定律。

　　类似地，对于交流电路的任意闭合回路，频域的基尔霍夫电压定律表明：

　　沿着闭合回路所有器件两端的电压相量的代数和等于零。

　　以方程表达，

　　{\displaystyle\sum _{k=1}^{m}\mathbb{V}_{k}=0}\sum _{k=1}^{m}\mathbb{V}_{k}=0；

　　其中，{\displaystyle\mathbb{V}_{k}}\mathbb{V}_{k}是闭合回路的器件两端的电压相量。

　　这是网目分析（mesh analysis）的基础定律。